ТЕОРИЯ СЛОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ И СЛОЖНОСТНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ

  1. Теоретический предел трудоемкости задачи

    Рассматривая некоторую алгоритмически разрешимую задачу, и анализируя один из алгоритмов ее решения, мы можем получить оценку трудоемкости этого алгоритма в худшем случае – fa()=O(g()). Такие же оценки мы можем получить и для других известных алгоритмов решения данной задачи. Рассматривая задачу с этой точки зрения, возникает резонный вопрос – а существует ли функциональный нижний предел для g() и если «да», то существует ли алгоритм, решающий задачу с такой трудоемкостью в худшем случае.

    Другая, более точная формулировка, имеет следующий вид: какова оценка сложности самого «быстрого» алгоритма решения данной задачи в худшем случае? Очевидно, что это оценка самой задачи, а не какого либо алгоритма ее решения. Таким образом, мы приходим к определению понятия функционального теоретического нижнего предела трудоемкости задачи в худшем случае:

    = min { ( (D)) }

    Если мы можем на основе теоретических рассуждений доказать существование и получить оценивающую функцию, то мы можем утверждать, что любой алгоритм, решающий данную задачу работает не быстрее, чем с оценкой в худшем случае:

    (D) = ()

      Приведем ряд примеров:

    1. Задача поиска максимума в массиве A=(a1,…,an) – для этой задачи, очевидно должны быть просмотрены все элементы, и = (n).

    2. Задача умножения матриц - для этой задачи можно сделать предположение, что необходимо выполнить некоторые арифметические операции со всеми исходными данными, теоретическое обоснование какой–либо другой оценки на сегодня не известно, что приводит нас к оценке =Q (). Отметим, что лучший алгоритм умножения матриц имеет оценку Q (). Расхождение между теоретическим пределом и оценкой лучшего известного алгоритма позволяет предположить, что либо существует, но еще не найден более быстрый алгоритм умножения матриц, либо оценка Q () должна быть доказана, как теоретический предел.

  2. Сложностные классы задач

    В начале 1960-х годов, в связи с началом широкого использования вычислительной техники для решения практических задач, возник вопрос о границах практической применимости данного алгоритма решения задачи в смысле ограничений на ее размерность. Какие задачи могут быть решены на ЭВМ за реальное время?

    Ответ на этот вопрос был дан в работах Кобмена (Alan Cobham, 1964), и Эдмнодса (Jack Edmonds, 1965), где были введены сложностные классы задач.

    1) Класс P (задачи с полиномиальной сложностью)

    Задача называется полиномиальной, т.е. относится к классу P, если существует константа k и алгоритм, решающий задачу с (n)=O(), где n - длина входа алгоритма в битах n = |D| [6].

    Задачи класса P – это интуитивно, задачи, решаемые за реальное время.

    Таким образом, задачи класса P есть уточнение определения «практически разрешимой» задачи.

    2) Класс NP (полиномиально проверяемые задачи)

    Представим себе, что некоторый алгоритм получает решение некоторой задачи – соответствует ли полученный ответ поставленной задаче, и насколько быстро мы можем проверить его правильность?

    Рассмотрим, например задачу о сумме:

    Дано N чисел – А = (a1,…an) и число V.

    Задача: Найти вектор (массив) X=(x1,…,xn), xiє{0,1}, такой, что aixi = V.

    Содержательно: может ли быть представлено число V в виде суммы каких-либо элементов массива А.

    Если какой-то алгоритм выдает результат – массив X, то проверка правильности этого результата может быть выполнена с полиномиальной сложно-стью: проверка aixi = V требует не более Q (N) операций.

    Формально: Dє, |D|=n поставим в соответствие сертификат Sє , такой что |S|=O () и алгоритм = (D,S), такой, что он выдает «1», если решение правильно, и «0», если решение неверно. Тогда задача принадлежит классу NP, если F ( )=O ( ).

    Содержательно задача относится к классу NP, если ее решение некоторым алгоритмом может быть быстро (полиномиально) проверено.

  3. Проблема P = NP

    После введения в теорию алгоритмов понятий сложностных классов Эдмондсом (Edmonds, 1965) была поставлена основная проблема теории сложности – P = NP ? Словесная формулировка проблемы имеет вид: можно ли все задачи, решение которых проверяется с полиномиальной сложностью, решить за полиномиальное время ?

    Очевидно, что любая задача, принадлежащая классу P, принадлежит и классу NP, т.к. она может быть полиномиально проверена – задача проверки решения может состоять просто в повторном решении задачи.

    На сегодня отсутствуют теоретические доказательства как совпадения этих классов (P=NP), так и их несовпадения. Предположение состоит в том, что класс P является собственным подмножеством класса NP, т.е. NP \ P не пусто – рис 6.1

  4. Класс NPC (NP – полные задачи)

    Понятие NP – полноты было введено независимо Куком (Stephen Cook, 1971) и Левиным (журнал «Проблемы передачи информации», 1973,т.9, вып. 3) и основывается на понятии сводимости одной задачи к другой.

    Сводимость может быть представлена следующим образом: если мы имеем задачу 1 и решающий эту задачу алгоритм, выдающий правильный ответ для всех конкретных проблем, составляющих задачу, а для задачи 2 алгоритм решения неизвестен, то если мы можем переформулировать (свести) задачу 2 в терминах задачи 1, то мы решаем задачу 2.

    Таким образом, если задача 1 задана множеством конкретных проблем , а задача 2 – множеством, и существует функция (алгоритм), сводящая конкретную постановку задачи 2 ( ) к конкретной постановке задачи 1(): , то задача 2 сводима к задаче 1.

    Если при этом () = O(), т.е. алгоритм сведения принадлежит классу P, то говорят, что задача 1 полиномиально сводится к задаче 2.

    Принято говорить, что задача задается некоторым языком, тогда если задача 1 задана языком L1, а задача 2 – языком L2, то полиномиальная сводимость обозначается следующим образом: L2 =< pL1.

    Определение класса NPC (NP-complete) или класса NP-полных задач требует выполнения следующих двух условий: во-первых, задача должна принадлежать классу NP (L є NP), и, во-вторых, к ней полиномиально должны сводиться все задачи из класса NP (Lx=< pL, для каждого Lx є NP), что схематично представлено на рис 6.2.

    Для класса NPC доказана следующая теорема: Если существует задача, принадлежащая классу NPC, для которой существует полиномиальный алгоритм решения (F = O()), то класс P совпадает с классом NP, т.е. P=NP.

    Схема доказательства состоит в сведении любой задачи из NP к данной задаче из класса NPC с полиномиальной трудоемкостью и решении этой задачи за полиномиальное время (по условию теоремы).

    В настоящее время доказано существование сотен NP–полных задач, но ни для одной из них пока не удалось найти полиномиального алгоритма решения. В настоящее время исследователи предполагают следующее соотношение классов, показанное на рис 6.3 – P NP, то есть NP \ P 0, и задачи из класса NPC не могут быть решены (сегодня) с полиномиальной трудоемкостью.

  5. Примеры NP – полных задач

    1 Задача о выполнимости схемы

    Рассмотрим схему из функциональных элементов «и», «или», «не» с n битовыми входами и одним выходом, состоящую не более, чем из O() элементов – рис 6.4

    Будем понимать под выполняющим набором значений из множества {0,1} на входе схемы, такой набор входов – значения x1,…,xn, при котором на выходе схемы будет значение «1».

    Формулировка задачи – существует ли для данной схемы выполняющий набор значений входа. Очевидно, что задача принадлежит классу NP – проверка предъявленного выполняющего набора не сложнее количества функциональных элементов, и следовательно не больше чем O().

    Это была одна из первых задач, для которой была доказана ее NP полнота, т.е. любая задача из класса NP полиномиально сводима к задаче о выполнимости схемы.

    Решение этой задачи может быть получено перебором всех возможных значений входа с последующей проверкой на соответствие условию выполняющего набора. В худшем случае придется проверить все возможные значения входа, что приводит к оценке Для этой, как и для всех других NP–полных задач не известен полиномиальный алгоритм решения.

    2 Задача о сумме

    Уже рассмотренная задача о сумме также является NP–полной, отметим, что если количество слагаемых фиксировано, то сложность задачи является полиномиальной, так как:

    Однако в общем случае придется перебирать различных вариантов, так как по биномиальной теореме , а при a=b=1, имеем:

    3 Задача о клике

    Пусть дан граф G = G(V,E), где V – множество из n вершин, а E – множество ребер. Будем понимать под кликой максимальный по количеству вершин полный подграф в графе в G.

    Задача состоит в определении клики в заданном графе G

    Поскольку в полном графе на m вершинах имеется m(m-1)/2 ребер, то проверка, является ли данный граф полным, имеет сложность O (). Очевидно, что если мы рассматриваем подграф с m вершинами в графе G с вершинами (m < n), то всего существует различных подграфов. Если в задаче о клике количество вершин клики фиксировано, то перебирающий алгоритм имеет полиномиальную сложность:

    Однако в общем случае придется проверять все подграфы с количеством вершин m = (2, n) на их полноту и определить максимальное значения m для которого в данном графе G существует полный подграф, что приводит к оценке в худшем случае: